materias: mayo 2015

miércoles, 6 de mayo de 2015

PENDIENTE DE UNA RECTA

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como un sucesión continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Uno ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomia que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en unplano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,¹ establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).
La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

ECUACIÓN EXPLICITA DE LA RECTA

Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

Ejemplos:

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

1. Halla la ecuación de las siguientes rectas:

a) Tiene pendiente -2 y ordenada en el origen 3.

b) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto $(3,\ -2)$ .

c) Pasa por los puntos $(-1,\ 0)$ y $(\cfrac{1}{2},\ 4)$ .

d) Pasa por el punto $(4,\ -2)$ y es paralela a la recta $y=5-\cfrac{2}{3}\cdot x$ .

Sean $(x_1,\ y_1)$ y $(x_2,\ y_2)$ dos puntos de una recta (que no sea horizontal *), entonces la ecuación de la recta viene dada por la expresión:

$\cfrac {y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac {x-x_1}{x_2-x_1}$

expresión que se denomina ecuación continua de la recta.

Además, su pendiente es:

$m=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

(* La recta no puede ser horizontal porque si no el primer denominador se anula)

FUNCIÓN CUADRATICA

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

y = ax^2 + bx + c \,

con

a \ne 0

.¹

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales

f(x) = 0 \

. Son denotadas habitualmente como:

x_1

x_2

, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como $\Delta = b^2 - 4 a c \$ .

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}

Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero:

-\frac{b}{2a} . \,\!

La parábola es tangente al eje X.

La parábola no corta al eje X.

El único caso restante es que el discriminante sea negativo. En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejosconjugados:

\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},

SISTEMA DE REFERENCIA

Un sistema de referencia o marco de referencia es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. Las trayectorias medidas y el valor numérico de muchas magnitudes son relativas al sistema de referencia que se considere, por esa razón, se dice que el movimiento es relativo. Sin embargo, aunque los valores numéricos de las magnitudes pueden diferir de un sistema a otro, siempre están relacionados por relaciones matemáticas tales que permiten a un observador predecir los valores obtenidos por otro observador.

En mecánica clásica frecuentemente se usa el término para referirse a un sistema de coordenadas ortogonales para el espacio euclídeo (dados dos sistemas de coordenadas de ese tipo, existe un giro y una traslación que relacionan las medidas de esos dos sistemas de coordenadas).

En mecánica relativista se refiere usualmente al conjunto de coordenadas espacio-temporales que permiten identificar cada punto del espacio físico de interés y el orden cronológico de sucesos en cualquier evento, más formalmente un sistema de referencia en relatividad se puede definir a partir de cuatro vectores ortonormales (uno temporal y tres espaciales).

En física clásica un sistema de referencia cartesiano se define por un par (P, E), donde el primer elemento P es un punto de referencia arbitrario, normalmente perteneciente a un objeto físico, a partir del cual se consideran las distancias y las coordenadas de posición. El segundo elemento E es un conjunto de ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas tienen como origen de coordenadas en el punto de referencia (P), y sirven para determinar la dirección del cuerpo en movimiento (o expresar respecto a ellos cualquier otra magnitud física vectorial o tensorial).

Un tercer elemento es el origen en el tiempo, un instante a partir del cual se mide el tiempo. Este instante acostumbra a coincidir con un suceso concreto. En cinemática el origen temporal coincide habitualmente con el inicio del movimiento que se estudia.

Estos tres elementos: punto de referencia, ejes de coordenadas cartesianos y origen temporal, forman el sistema de referencia. Para poder utilizar un sistema de referencia, sin embargo, se necesitan unas unidades de medida que nos sirvan para medir. Las unidades son convencionales y se definen tomando como referencia elementos físicamente constantes. A un conjunto de unidades y sus relaciones se le llama sistema de unidades. En el Sistema Internacional de Unidades o SI, se utiliza el metro como unidad del espacio y el segundo como unidad del tiempo.

Si un objeto se mueve en línea recta, solamente es necesario un eje para describir su movimiento. Cuando se mueve por un plano hacen falta al menos dos ejes. Para movimientos en el espacio se utilizan tres ejes. Las coordenadas más utilizadas son las coordenadas cartesianas, designadas (x,y,z), donde x es la proyección sobre el "eje horizontal" (x es positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda); y es la coordenada vertical, positivo hacia arriba y negativo hacia abajo; y z mide la profundidad, positivo cuando se acerca y negativo cuando se aleja. Cuando se estudian movimientos respecto a la superficie de la Tierra, se acostumbra a hacer pasar el eje y o el eje z por el centro de la Tierra, con el origen de coordenadas situado en la superficie.

Dados dos sistemas de referencia R₁ y R₂, con un origen de tiempos y que se mueven con una velocidad constante uno respecto al otro, las coordenadas de ambos sistemas de coordenadas están relacionadados mediante:

$\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} r_{xx} & r_{xy} & r_{xz}\\ r_{yx} & r_{yy} & r_{yz}\\ r_{zx} & r_{zy} & r_{zz} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - x_0 - v_x t \\ y_1- y_0 -v_y t \\ z_1 - z_0 - v_z t \end{pmatrix}$

Donde:

r_{ij}\,

, son las componentes de una matriz ortogonal que representa la rotación necesaria para dar a los dos sistemas la misma orientación.

v_i\,

, son las componentes de la velocidad del sistema 1 respecto al 2.

(x_0, y_0, z_0)\,

, es la posición del origen de coordenadas 2 respecto al origen de coordenadas de 1 en el instante t = 0

DESPLAZAMIENTO

En mecánica, el desplazamiento es el vector que define la posición de un punto opartícula en relación a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la posición final. Cuando se habla del desplazamiento en el espacio solo importa la posición inicial y la posición final, ya que la trayectoria que se describe no es de importancia.

En la dinámica del punto material, se entiende por desplazamiento el vector o segmento recto orientado que une la posición inicial con otro punto genérico de la trayectoria. Este uso del vector desplazamiento permite describir en forma completa el movimiento y el camino de una partícula.

En mecánica de medios continuos se entiende por desplazamiento el vector que va desde la posición inicial (antes de la deformación) a la final (después de la deformación) de un mismo punto material del medio continuo.

Cuando el punto de referencia es el origen del sistema de coordenadas que se utiliza, el vector desplazamiento se denomina por lo generalvector posición, que indica la posición por medio de la línea recta dirigida desde la posición previa a la posición actual, en comparación con lamagnitud escalar "distancia recorrida" que indica solo la longitud del camino, obviamente en un espacio euclídeo se tiene:

$\|\Delta\mathbf{r}(t)\| \le L_r = \int_0^t v(t)\ dt = \int_0^t \left\| \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} \right\|\ dt$

La igualdad anterior sólo se cumpliría para un movimiento rectilíneo.

Cuando el punto de referencia es la posición previa de la partícula, el vector desplazamiento indica la dirección del movimiento por medio de un vector que va desde la posición previa a la posición actual. Este uso del vector desplazamiento es útil para definir a los vectores velocidad y aceleración de una partícula definida..

En ciertos contextos se representa por Δ_x y viene dado por:

$\Delta_x(t) = x_t - x_0\,$

Si llamamos K a la región del espacio ocupada por un sólido deformable podemos representar el proceso de deformación entre dos posiciones como un difeomorfismo

T_D: K \to \mathbb{R}^3

. Si consideramos un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) sobre K se define el vector desplazamiento u para cada punto sencillamente como:

$\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z) = T_D(x,y,z) - (x,y,z)\,$

A partir de este vector de desplazamientos es trivial calcular las componentes de la deformación y si se conoce la ley constitutiva del sólido deformable pueden determinarse las tensiones mecánicas a que se halla sometido. En concreto el tensor deformación de Green-Lagrange:

$\mathbf{D} = (\varepsilon_{ij}), \quad \mbox{donde}\ \varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}+\sum_{k}{\part u_k \over \part x_i}{\part u_k \over \part x_j}\right)$

Donde:

\begin{matrix} u_1 := u_x & u_2 := u_y & u_3 := u_z\\ x_1 := x & x_2 := y & x_3 := z \end{matrix}

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

El movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) es aquel en el que la trayectoria es una linea recta y la velocidad es constante. En este apartado vamos a explicar:

Definición de m.r.u.

A pesar de que encontrar el movimiento rectilíneo uniforme o m.r.u en la naturaleza es bastante extraño, es el movimiento más fácil de estudiar y nos servirá para estudiar otros más complejos. El movimiento rectilíneo uniforme cumple las siguientes propiedades:

La aceleración es cero (a=0) al no cambiar la velocidad de dirección ni variar su módulo
Por otro lado, la velocidad inicial, media e instantánea del movimiento tienen el mismo valor en todo momento

Un cuerpo realiza un movimiento rectilíneo uniforme cuando su trayectoria es una linea recta y su velocidad es constante. Esto implica que recorre distancias iguales en tiempos iguales.

movimiento rectilíneo uniforme y desplazamiento

Ecuaciones de m.r.u.

Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme son:

x = x 0 + v \cdot t

v = v 0 = cte

a = 0

Donde:

x, x0: La posición del cuerpo en un instante dado (x) y en el instante inicial (x0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)
v,v0: La velocidad del cuerpo en un instante dado (v) y en el instante inicial (v0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s)
a: La aceleración del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)

Para deducir las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme m.r.u. hay que tener en cuenta que:

La velocidad media coincide con la velocidad instantánea
No hay aceleración

Con esas restricciones nos queda:

v m = v v m = Δ x Δ t = x - x 0 t - t 0 =    t 0 = 0 x - x 0 t ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ \to x - x 0 = v \cdot t \to x = x 0 + v \cdot t

Ejemplo

Dos jugadores de canicas se encuentran uno frente a otro con sus canicas en la mano. El juego consiste en lanzarlas al mismo tiempo en línea recta y hacer que ambas se golpeen. Si ambos se encuentran situados a 36 metros uno del otro y el jugador A lanza su canica a 2 m/sg y el jugador B a 4 m/sg en un movimiento rectilíneo uniforme. Calcula a que distancia del jugador B chocarán las canicas.